케플러 궤도

3. 이체 문제

이체 문제는 중력으로 상호작용하는 두 물체의 운동을 다루는 고전역학 문제이다.

아이작 뉴턴은 1665년부터 1666년 사이에 운동, 중력, 미적분에 관한 여러 개념을 개발했다. 1687년 프린키피아를 출판하여 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 설명했다. 뉴턴의 운동 법칙 중 두 번째 법칙은 다음과 같다.

물체의 가속도는 물체에 작용하는 알짜 힘에 평행하고, 직접 비례하며, 알짜 힘의 방향과 같고, 물체의 질량에 반비례한다.

$$\backslash mathbf\{F\}\; =\; m\backslash mathbf\{a\}\; =\; m\backslash frac\{d^2\backslash mathbf\{r\}\}\{dt^2\}$$

여기서:

• $\backslash mathbf\{F\}$는 힘 벡터이다.
• $m$은 힘이 작용하는 물체의 질량이다.
• $\backslash mathbf\{a\}$는 가속도 벡터이며, 위치 벡터 $\backslash mathbf\{r\}$의 두 번째 시간 도함수이다.

모든 점질량은 두 점을 연결하는 직선을 따라 향하는 힘으로 다른 모든 점질량을 끌어당긴다. 이 힘은 두 질량의 곱에 비례하고 점질량 사이의 거리의 제곱에 반비례한다.

$$F\; =\; G\; \backslash frac\{m\_1\; m\_2\}\{r^2\}$$

여기서:

• $F$는 두 점질량 사이의 중력의 크기이다.
• $G$는 중력 상수이다.
• $m\_1$은 첫 번째 점질량의 질량이다.
• $m\_2$는 두 번째 점질량의 질량이다.
• $r$은 두 점질량 사이의 거리이다.

3. 1. 단순화된 이체 문제

• $\backslash mathbf\{r\}$은 2번 점질량에 대한 1번 점질량의 상대 위치 벡터이며, $\backslash mathbf\{r\}\; =\; \backslash mathbf\{r\}\_1\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_2$이다.
• $\backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}$은 해당 방향의 단위벡터이며 $r$은 벡터의 길이이다.

• $\backslash mu$는 표준 중력 변수이며 $\backslash mu\; =\; G(m\_1\; +\; m\_2)$이다.

3. 2. 케플러 궤도

• 두 물체는 완벽한 구형이며 점질량으로 취급될 수 있다.
• 두 물체 사이에 작용하는 중력 이외에 다른 모든 내·외적 힘은 작용하지 않는다.

• $\backslash mathbf\{r\}$은 2번 점질량에 대한 1번 점질량의 상대적인 위치 벡터이며, $\backslash mathbf\{r\}\; =\; \backslash mathbf\{r\}\_1\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_2$로 표현된다.
• $\backslash mathbf\{\backslash hat\{r\}\}$은 해당 방향의 단위벡터이며 $r$은 벡터의 길이이다.

• 여기서 $\backslash mu$는 표준 중력 변수이며 $\backslash mu\; =\; G(m\_1\; +\; m\_2)$이다.

• 궤도 중심의 물체와 비교하여, 공전하는 물체의 질량은 무시 가능하다(''m''₁ >> ''m''₂). 따라서, ''μ'' = ''G'' (''m''₁ + ''m''₂) ≈ ''Gm''₁ 이 된다.

• 장반축 ($a$)
• 이심률 ($e$)

• 궤도 경사각 ($i$)은 궤도면과 기준면 사이의 각도를 정의한다.
• 승교점 적경 ($\backslash Omega$)은 기준 방향과 기준면에서 궤도의 상승 교점(승교점) 사이의 각도를 정의한다.
• 근점 편각 ($\backslash omega$)은 승교점과 근점 사이의 각도를 정의한다.

• 진근점이각 ($\backslash nu$)은 근점에서 측정한 궤적을 따라 궤도를 도는 물체의 위치를 정의한다. 진근점이각 대신 여러 가지 대체 값을 사용할 수 있으며, 가장 일반적인 것은 평균 근점이각 $M$과 근점 이후의 시간 $T$이다.

4. 궤도 요소

궤도 요소는 케플러 궤도의 모양과 방향, 그리고 궤도 상의 물체의 위치를 나타내는 여섯 개의 매개변수이다. 궤도 요소는 다음과 같다.

• 궤도의 크기와 모양을 결정하는 두 요소:
• * 긴반지름 ($a$)
• * 이심률 ($e$)
• 궤도면의 성질을 결정하는 세 요소:
• * 궤도 경사 ($i$)는 궤도면과 기준면 사이의 각도이다.
• * 승교점 경도 ($\backslash Omega$)는 궤도면이 기준면을 위쪽으로 뚫고 올라가는 곳(승교점)과 기준 방향 사이의 각도이다.
• * 근일점 편각 ($\backslash omega$)은 승교점과 궤도 근점 사이의 각도이다.
• 물체의 위치를 결정하는 마지막 요소:
• * 진근점 이각 ($\backslash nu$)은 궤도 근점부터 물체의 위치를 각도로 측정한 것이며, 이를 대신해 평균 근점 이각 $M$이나 "근점으로부터 경과한 시간" $T$를 사용하기도 한다.

5. 케플러 궤도의 활용과 한계

케플러 궤도는 단순화된 모델이지만, 태양계 행성, 인공위성 등 많은 천체의 궤도를 비교적 정확하게 예측하는 데 사용될 수 있다. 특히, 대한민국은 아리랑 위성, 천리안 위성 등 다양한 인공위성을 개발하고 운영하며, 케플러 궤도를 위성 궤도 설계 및 예측에 활용하고 있다.

그러나 케플러 궤도는 다음과 같은 한계를 가진다.

• 두 천체 문제 가정: 케플러 궤도는 질량이 매우 큰 하나의 천체와 그 주위를 공전하는 질량이 매우 작은 또 다른 천체, 즉 두 천체 사이의 상호작용만을 고려한다. 현실에서는 여러 천체가 서로 영향을 주고받기 때문에, 이 가정은 오차를 유발한다.
• 균일한 구형 중력장 가정: 케플러 궤도는 중심 천체의 중력장이 완벽하게 균일한 구형이라고 가정한다. 하지만 지구와 같은 실제 천체는 모양이 완벽한 구형이 아니고, 밀도 분포도 균일하지 않기 때문에 중력장 역시 불균일하다.
• 섭동 무시: 케플러 궤도는 태양풍, 대기 저항, 다른 천체의 중력 등 궤도에 영향을 미치는 외부 요인(섭동)을 고려하지 않는다.

6. 대한민국의 우주 개발과 궤도 역학

대한민국은 1990년대부터 우주 개발에 본격적으로 참여하여 현재는 세계적인 수준의 위성 기술력을 보유하고 있다. 과학기술위성, 아리랑 위성, 천리안 위성 등 다양한 목적의 인공위성을 개발하고 발사하여 통신, 기상 관측, 지구 관측, 우주 과학 연구 등 다양한 분야에 활용하고 있다.^[1] 2022년에는 누리호 발사에 성공하여 독자적인 우주 발사체 기술력을 확보하였으며, 이를 통해 우주 탐사 및 개발에 더욱 적극적으로 참여할 수 있는 기반을 마련하였다.^[2]

궤도 역학은 인공위성의 궤도 설계, 궤도 예측, 궤도 조정, 우주 잔해물 감시 등 우주 개발의 핵심적인 분야이며, 대한민국의 우주 개발 역량 강화에 중요한 역할을 수행하고 있다.^[3]

7. 추가 정보

중앙력, 즉 r과 평행한 힘에 의한 운동의 경우, 비선형 상대 각운동량은 일정하게 유지된다. 위치 벡터와 속도 벡터의 외적이 일정하게 유지되므로, 두 벡터는 벡터 함수가 평면 곡선임을 의미하며, 동일 평면 상에 존재해야 한다.

방정식은 원점에 대해 대칭이므로, 극좌표계에서 푸는 것이 더 쉽다. 그러나 각가속도나 반지름 방향 가속도가 아닌 선가속도를 나타낸다는 점에 유의해야 한다. 따라서 방정식을 변환할 때 주의해야 한다.

$\backslash mathbf\{H\}$에 수직인 평면에 데카르트 좌표계와 극좌표 단위 벡터를 도입하면, 벡터 함수와 그 도함수를 다시 쓸 수 있다. 이것들을 이용해 상미분 방정식을 풀기 위해서는 모든 시간 도함수를 제거해야 한다. 이는 연쇄 법칙을 사용하여 적절한 치환을 찾음으로써 가능하다.

이러한 치환을 통해 $\backslash theta$의 함수로서 $r$에 대한 상미분 방정식을 얻는다. 이 미분 방정식은 변수 치환을 통해 해석적으로 풀 수 있으며, 일반 해는 다음과 같다.

:$s\; =\; \backslash frac\; \{\backslash alpha\}\; \{H^2\}\; \backslash cdot\; \backslash left\; (\; 1\; +\; e\; \backslash cdot\; \backslash cos\; (\backslash theta-\backslash theta\_0)\backslash right\; )$

여기서 ''e''와 $\backslash theta\_0$는 적분 상수이다.

궤도의 위치 벡터 r과 적분 상수 c 사이의 각도 θ를 고려할 때, 벡터 c는 궤도의 근점 방향을 가리킨다. 따라서 궤도와 관련된 이심률 벡터는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$$\backslash mathbf\{e\}\; \backslash triangleq\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{c\}\}\{\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{\backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\backslash times\backslash mathbf\{H\}\}\{\backslash alpha\}\; -\; \backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{v\}\backslash times\backslash mathbf\{H\}\}\{\backslash alpha\}\; -\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\}\{r\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{v\}\backslash times(\backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{v\})\}\{\backslash alpha\}\; -\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\}\{r\}$$

여기서 $\backslash mathbf\{H\}\; =\; \backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\; =\; \backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{v\}$는 궤도의 일정한 각운동량 벡터이고, $\backslash mathbf\{v\}$는 위치 벡터 $\backslash mathbf\{r\}$와 관련된 속도 벡터이다.

이심률 벡터는 궤도의 근점 방향을 가리키며, 크기는 궤도 이심률과 같다. 이는 상태 벡터가 알려져 있을 때 궤도 요소를 구하는 데 매우 유용하다.

• e=0인 경우, 반지름이 ''p''인 원이다.
• 0타원이다.
• e=1인 경우, 초점 거리가 $\backslash tfrac\{p\}\{2\}$인 포물선이다.
• e>1인 경우, 쌍곡선이다.

참조

_[1] 서적 Copernicus
_[2] 서적 Bate, Mueller, White
_[3] 웹사이트 NASA website https://web.archive.[...] 2012-08-12
_[4] 서적 Copernicus
_[5] 서적 Bate, Mueller, White
_[6] 웹사이트 http://ssd.jpl.nasa.[...]